Congruenta si asemanarea triunghiurilor

Asemanarea si congruenta triunghiurilor triunghiurilor

1)Raportul a doua segmente:

Def:Raportul a doua segmente, masurate cu aceeasi unitate de masura, este raportul lungimilor lor.


2)Segmente proportionale:

Def:Sirurile de segmente ([A B],[A B],[A B],……) si
([A B],[A B],[A B],…….) se numesc proportionale daca sirurile lungimilor lor sunt proportionale.
Daca AB=2dm, BC=6dm, CD=8dm, EF=3dm, FG=9dm, GH=12dm,atunci ([AB],[BC],[CD])~([EF],[FG],[GH]),deoarece
Deci segmentele[AB],[BC],[CD]sunt proportionale cu segmentele[EF],[FG],[GH].Factorul de proportionalitate este
Obseravatii:
a)Ordinea in care sunt scrise segmentele este esentiala.
b) Cand factorul de proportionalitate este 1,sirurile de numere coincid.

3)Impartirea unui segment intr-un raport dat

PROP.1-Exista un singur punct interior segmentului care imparte un segment dat intr-un raport dat.

PROP.2-Exista un singur punct exterior segmentului care imparte un segment dat intr-un raport dat, daca raportul este diferit de 1.

4)Teorema paralelelor echidistante:

T:Daca dreptele paralele d ,d ,….,d determina pe o secanta segmente congruente, atunci ele determina pe orice alta secanta segmente congruente.

5)Teorema lui THALES:

Prop1-Fie dreptele d si d si punctele A,B,C d,A ,B ,C , d astfel incat AA BB CC.DacaB (AC),atunciB (AC).




Prop2-Intre oricare doua numere reale exista cel putin un numar rational
Prop3-Fie x si y doua numere reale.Daca orice numar rational mai mic decat x este mai mic si decat y si orice numar rational mai mic decat y este mai mic si decat x,atunci x=y.

TEOREMA LUI THALES:O paralela dusa la una dintre laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente proportionale.

Observatii:
a)Folosnd proprietatile proportiilor, din teorema lui Thales rezulta si egalitatile:
b)Daca punctul D este exterior laturii[AB],concluzia teoremei lui Thales ramane adevarata.

RECIPROCA LUI THALES:Daca o dreapta determina pe doua laturi ale unui triunghi segmente proportionale, atunci ea este paralela cu latura a treia a triunghilui.

TEOREMA PARALELELOR NEECHIDINSTANTE
Dreptele paralelelor d ,d ,……,d determina pe doua secante oarecare segmente proportionale.

6)Triunghiri asemenea:

Def: Fie triunghiurile ABC si DEF.

Inre triunghiurile ABC si DEF exista o asemanare daca
A D,B E,C F (1) si

Raportul lugimilor oricaror doua laturi corespondente se numeste raportul de asemanare a celor doua triunghiuri.
Urmatoarele proprietati ale relatiei de asemanare se deduc usor din definitia data.
1)daca ABC ABC,atunci ABC~ ABC
2)Daca raportul de asemanare a doua tringhiuri asemenea este 1, atunci triunghiurile sunt congruente.
3)Daca ABC ABC si ABC~ ABC,atunci ABC~ ABC
4) ABC~ ABC.
5)Daca ABC~ ABC, atunci ABC~ ABC.
6)Daca ABC~ ABC si ABC~ ABC, atunci ABC~ ABC

7)Teorema fundamentala a asemanarii:

Def: O paralela la una dintre laturile unui triunghi formeaza cu celelalte doua laturi un triunghi asemenea cu cel dat.

8)Criterii de asemanare a triunghiurilor:

Teorema 1.-Doua triunghiuri sunt asemanea daca au doua unghiuri respectiv congruente.




Teorema 2.-Doua triunghiuri sunt asemenea daca au doua laturi respectiv proportionale si unghiurile dimtre laturile proportionale sunt congruente.




Teorema 3.-Doua triunghiuri sunt asemenea daca au laturile respectiv proportionale.



Observatii: Am vazut ca pentru a demonstra asemanarea a doua triunghiuri este suficient sa demonstram doar doua egalitati.
De indata ce stim ca triunghiurile sunt asemenea, deducem, apeland la definitie, ca si celelalte trei egalitati sunt adevarate.